A álgebra vetorial é parte integrante da Física e da Matemática. Ele simplifica os cálculos e ajuda na análise de uma ampla variedade de conceitos espaciais. Um vetor é uma quantidade física que possui uma magnitude e também uma direção. Sua contraparte é uma grandeza escalar que tem apenas magnitude, mas nenhuma direção.
Um vetor pode ser manipulado usando duas operações básicas. Essas operações são o produto escalar e o produto vetorial, e têm grandes diferenças.
Produto interno x produto cruzado
A diferença entre o produto escalar e o produto vetorial de dois vetores é que o resultado do produto escalar é uma quantidade escalar, enquanto o resultado do produto vetorial é uma quantidade vetorial.
Um produto escalar de dois vetores também é chamado de produto escalar. É o produto da magnitude dos dois vetores e o cosseno do ângulo que eles formam um com o outro.
Um produto cruzado de dois vetores também é chamado de produto vetorial. É o produto da magnitude dos dois vetores e o seno do ângulo que eles formam um com o outro.
Tabela de comparação entre produto interno e produto cruzado (na forma tabular)
| Parâmetro de comparação | Produto interno | Produto cruzado |
|---|---|---|
| Definição Geral | Um produto escalar é o produto da magnitude dos vetores e o cos do ângulo entre eles. | Um produto vetorial é o produto da magnitude dos vetores e o seno do ângulo que eles se subentendem. |
| Relação Matemática | O produto escalar de dois vetores A e B é representado como: Α.Β = ΑΒ cos θ | O produto vetorial de dois vetores A e B é representado como: Α × Β = ΑΒ sen θ |
| Resultante | A resultante do produto escalar dos vetores é uma quantidade escalar. | A resultante do produto vetorial dos vetores é uma quantidade vetorial. |
| Ortogonalidade de vetores | O produto escalar é zero quando os vetores são ortogonais (θ = 90 °). | O produto vetorial é máximo quando os vetores são ortogonais (θ = 90 °). |
| Comutatividade | O produto escalar de dois vetores segue a lei comutativa: A. B = B. A | O produto vetorial de dois vetores não segue a lei comutativa: A × B ≠ B × A |
O que é produto interno?
Um produto escalar ou produto escalar de dois vetores é o produto de suas magnitudes e o cosseno do ângulo subtendido por um vetor sobre o outro. Também é chamado de produto interno ou produto de projeção.
É representado como:
A · Β = | A | | B | cos θ
O resultado é uma quantidade escalar, portanto, tem apenas magnitude, mas nenhuma direção.
Pegamos o cosseno do ângulo para o cálculo do produto escalar de forma que os vetores se alinhem na mesma direção. Dessa forma, obtemos a projeção de um vetor sobre o outro.
Para vetores com n dimensões, o produto escalar é dado por:
A · Β = Σ α¡b¡
O produto escalar tem as seguintes propriedades:
Α · b = b · α
Α · (b + c) = α · b + α · c
(λα) · (μb) = λμ (α · b)
O produto escalar tem as seguintes aplicações:
É usado para encontrar a projeção de um ponto no plano quando suas coordenadas são conhecidas.
O que é produto cruzado?
Um produto vetorial ou produto vetorial de dois vetores é o produto de suas magnitudes e o seno do ângulo subtendido por um sobre o outro. Também é chamado de produto de área direcionada.
É representado como:
A × Β = | A | | B | sin θ
O resultado é outra quantidade vetorial. O vetor resultante é perpendicular a ambos os vetores. Sua direção pode ser determinada usando a regra da mão direita.
As seguintes regras devem ser mantidas em mente ao calcular o produto vetorial:
Onde I, j e k são os vetores unitários na direção x, y e z, respectivamente.
O produto vetorial tem as seguintes propriedades:
a × b = - (b × α)
a × (b + c) = α × b + α × c
(λα) × (b) = λ (α × b)
O produto vetorial tem as seguintes aplicações:
Principais diferenças entre produtos escalares e produtos cruzados
O produto escalar e o produto vetorial permitem cálculos em álgebra vetorial. Eles têm diferentes aplicações e diferentes relações matemáticas.
As principais diferenças entre os dois são:
Conclusão
A álgebra vetorial tem grande utilidade em várias disciplinas matemáticas. Seu uso é muito comum em geometria e eletromagnetismo. O produto escalar e o produto vetorial de vetores são as operações básicas em álgebra vetorial. Eles têm várias aplicações. O produto escalar calcula uma quantidade escalar. Essa quantidade geralmente é a distância ou o comprimento.
O produto vetorial calcula uma quantidade vetorial. Então, temos outro vetor no espaço. Podemos realizar operações como adição, subtração e multiplicação em vetores. Deslocamento, velocidade e aceleração são vetores comuns em Física.
O conceito de vetor evoluiu há mais de 200 anos. Desde então, ele floresceu devido às contribuições de muitos matemáticos e cientistas.
